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By Augustin Rosselin

Атлас мира. Карты: физические, географические, политические и исторические.

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4 . Un critère de résolubilité Lemme 2. - Soient x un endomorphisme d'un espace vectoriel V de dimension finie, et s (resp. n) sa composante semi-simple (resp. nilpotente) (cf. , chap. VIII, § 9, no 4, déf. 4). Soient ad x, ad s, ad n les images respectives de x, s, n dans la représentation adjointe de gl(V). Alors ad s (resp. ad n) est la composante semi-simple (resp. nilpotente) de ad x, et est égal à un polynôme en ad x, à coeficients dans K, sans terme constant. Montrons que ad s est semi-simple.

Soient M un g-modnle, et N un a-module simple. Considérons M comme un a-module et supposons que l'ensemble des sousa-modules de M qui sont purs d'espèce N admette un éléinent maximal Ml. Alors M' est un sous-g-module de M. Soit y E g. m) de M' dans M/Mf. Il sufit de montrer que f(Mf)= )( 0 :. Soit x E a. (y,%. m). Donc x ~ , ~f(m) I . m). Il en résulte que f(M1) est un sous-a-module de M/M1 isomorphe a un quotient de M', donc pur d'espèce N ; d'où f(M1)= { 0 ). COROLLAIRE. - Soient g une algèbre de Lie sur K, et a un idéal de g.

Soit S la sous-algèbre de 9 ( V ) engendrée par 1 et a. Si b est un idéal de g contenu dans a et tel que l'on ait Tr bs = O pour tout b E b et tout s E S, on a en particulier, par définition de S, Tr (6") = O pour tout entier n > O, donc b est nilpotent 1 1. , chap. VII, 5 5, no 5, cor. 4 de la prop. 13) ; comme les éléments de b sont tous nilpotents, on a b = { 0 ) ( 5 4, no 3, lemme 2). Appliquons d'abord ceci à l'idéal [g, a] de g. Si x E g, a E a, s E S, on a Tr [x, a]s = T r (xas - axs) = Tr x(as - sa) = O puisque as = sa ; on a donc [g, a] = O ) .

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